2022 - 信号与系统笔记

# 欧拉公式

$$\begin{aligned} e^{jx} & = \cos(x)+j\sin(x)\\ e^{-jx} & = \cos(x)-j\sin(x) \end{aligned}$$

# 傅里叶级数

# 连续信号

$$\begin{aligned} x(t) & = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jkw_0t}\\ a_n & = \frac{1}{T} \int_T x(t)e^{-jnw_0t}\\ w_0 & = \frac{2\pi}{T} \end{aligned}$$

# 离散信号

$$\begin{aligned} x[n] & = \sum_{k=<N>} a_ke^{jkw_0n}\\ a_k & = \frac{1}{N}\sum_{n = <N>}x[n]e^{-jkw_0n}\\ w_0 & = \frac{2\pi}{N} \end{aligned}$$

# 特殊例子

方波信号傅里叶级数

$$a_k = \frac{\sin(kw_0T)}{\pi k}$$

# 傅里叶级数的性质

# 傅里叶变换

# 连续傅里叶变换对

$$\begin{aligned} x(t) & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}X(jw)e^{jwt} dw \\ X(jw) & = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jwt}dt \end{aligned}$$

# 周期信号的连续傅里叶变换

$$\begin{aligned} X(jw) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2 \pi a_k\delta(w-kw_0) \end{aligned}$$

# 连续傅里叶变换的系统函数

$$H(jw) = \frac{Y(jw)}{X(jw)} = \frac{\sum_{k=0}^{M}b_k(jw)^k}{\sum_{k=0}^{N}a_k(jw)^k}$$

# 连续傅里叶变换的性质

# 常见的连续傅里叶变换对

# 离散傅里叶变换对

$$\begin{aligned} x[n] & = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{jw})e^{jwn} dw\\ X(e^{jw}) & = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jwn} \end{aligned}$$

# 周期信号的离散傅里叶变换

$$\begin{aligned} X(e^{jw}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k \delta(w-\frac{2\pi k}{N}) \end{aligned}$$

# 离散傅里叶变换系统函数

$$H(jw) = \frac{Y(jw)}{X(jw)} = \frac{\sum_{k=0}^{M}b_ke^{-jkw}}{\sum_{k=0}^{N}a_ke^{-jkw}}$$

# 离散傅里叶变换的性质

# 常见的离散傅里叶变换对

# 信号与系统的时域和频域特性

# 连续

$$X(jw) = |X(jw)|e^{j\sphericalangle X(jw)}$$

# 离散

$$X(e^{jw}) = |X(e^{jw})|e^{j\sphericalangle X(e^{jw})}$$

# 频域响应

$$\begin{aligned} Y(jw) & = H(jw)*X(jw)\\ \Rightarrow |Y(jw)| & = |H(jw)|*|X(jw)|\\ \sphericalangle Y(jw) & = \sphericalangle H(jw) + \sphericalangle X(jw) \end{aligned}$$

# 非失真传输

$$H(jw) = ke^{-jwt}$$

其中$|H(jw)|$ 为常数，$\sphericalangle H(jw)$ 过原点

# 采样

# 冲击串采样

$$\begin{aligned} x_p(t) & = x(t)*p(t) \\ p(t) & = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT) \\ X_p(jw) & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(jw)P(j(w-\theta)){\,\,}d\theta \\ P(jw) & = \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(w-kw_s) \Rightarrow X_P(jw) & = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(j(w-kw_s)) \end{aligned}$$

# 采样定理

# 拉普拉斯变换

# 拉普拉斯变换

$$\begin{aligned} X(s) & = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st} dt \\ s & = \sigma + jw \end{aligned}$$

收敛域要保证$X(s)$ 收敛，记为{\cal Re}\left\

# 拉普拉斯逆变换

$$\begin{aligned} x(t) & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(s)e^{st} ds \end{aligned}$$

# 拉普拉斯变换性质

# 常见的拉普拉斯变换对

# 微分方程描述的因果线性时不变系统

$$\begin{aligned} & a_n\frac{d^ny(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}y(t)}{dt^{n-2}}+ \dotsb + a_{1}\frac{dy(t)}{dt} + a_0y(t) = \\ & b_n\frac{d^nx(t)}{dt^n}+b_{n-1}\frac{d^{n-1}x(t)}{dt^{n-1}}+b_{n-2}\frac{d^{n-2}x(t)}{dt^{n-2}}+ \dotsb + b_{1}\frac{dx(t)}{dt} + b_0x(t) \end{aligned}$$

系统函数表示为

$$\begin{aligned} {\cal H}(s) = \frac{\sum_{k=0}^{n}b_ks^k}{\sum_{k=0}^{n}a_ks^k} \end{aligned}$$

# $\cal Z$ 变换

# $\cal Z$ 变换

$$\begin{aligned} & X({\cal z}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n] {\cal z}^{-n}\\ & z = re^{jw} \end{aligned}$$

收敛于要保证$X({\cal z})$ 收敛

# $\cal Z$ 逆变换

$$\begin{aligned} x[n] = \frac{1}{2\pi j}\oint X({\cal z})z^{n-1} dz \end{aligned}$$

# $\cal Z$ 变换性质

# 常见的$\cal Z$ 变换性质